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画图虽然不难,但它是学好数学的必备技能,千万不能忽视

2022-10-12 02:41:13 440

摘要:尺规作图能提高学生的几何语言表达能力,通过画图,培养学生的作图能力及动手能力,同时让学生在数学学习过程中体验数学语言的简洁严谨,体会数学作图语言和图形的统一。因此,尺规作图与证明是每年全国很多地方中考数学的必考内容之一,一般考查考生对基本作...

尺规作图能提高学生的几何语言表达能力,通过画图,培养学生的作图能力及动手能力,同时让学生在数学学习过程中体验数学语言的简洁严谨,体会数学作图语言和图形的统一。

因此,尺规作图与证明是每年全国很多地方中考数学的必考内容之一,一般考查考生对基本作图的掌握情况和实践操作能力,并且在作图的基础上进一步证明结论的成立。

值得注意的是虽然此类题目属于基础题,难度不大,但一般会与特殊三角形、特殊四边形和圆有着密切联系,大家要认真对待。

尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。只使用圆规和直尺,来解决不同的平面几何作图题。尺规作图一般都有以下两个默认共性:

1、直尺必须没有刻度,理论上可以无限长,只可以用它来将两个点连在一起,不可以在上画刻度。

2、圆规上面亦不能有刻度(一般尺规作图都有已知线段给我们)。

尺规作图需要进一步证明结论时,一般需要运用尺规作图中的结论,结合已知图形的性质进行推理、证明即可。在基本作图的基础上,掌握较复杂的尺规作图,即利用基本作图作三角形、作三角形的外接圆、内切圆等是中考常考的内容。难度稍有提高,需要结合其他几何图形的性质灵活运用尺规作图。另外,注意在作图过程中,保留作图痕迹。

尺规作图有关的中考试题分析,讲解1:

四条线段a,b,c,d如图,a:b:c:d=1:2:3:4

(1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图,要求保留作图痕迹,不必写出作法);

(2)任取三条线段,求以它们为边能作出三角形的概率.

考点分析:

列表法与树状图法;三角形三边关系;作图—复杂作图;计算题;作图题.

题干分析:

(1)选b,c,d三边利用“边边边”作三角形即可;

(2)列举出所有情况,看以它们为边能作出三角形的情况数占总情况数的多少即可.

解题反思:

考查概率的求法;用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到能作出三角形的情况数是解决本题的关键。

运用尺规作图解决实际问题时,应该根据题意分析需要哪几种基本作图,然后确定基本作图的顺序。

尺规作图有关的中考试题分析,讲解2:

如图1,Rt△ABC两直角边的边长为AC=1,BC=2.

(1)如图2,⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X,与边CB相切于点Y.请你在图2中作出并标明⊙O的圆心(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)

(2)P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切.设⊙P的面积为S,你认为能否确定S的最大值?若能,请你求出S的最大值;若不能,请你说明不能确定S的最大值的理由.

考点分析:

切线的性质;角平分线的性质;勾股定理;作图—复杂作图;探究型。

题干分析:

(1)作出∠B的角平分线BD,再过X作OX⊥AB,交BD于点O,则O点即为⊙O的圆心;

(2)由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定,故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切;⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时;⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论.

解题反思:

本题考查的是切线的性质,解答此题的关键是根据题意画出图形,再利用数形结合及切线的性质进行解答.

尺规作图有关的中考试题分析,讲解3:

如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C,作CD⊥AD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E.

(1)求证:AC平分∠DAB;

(2)过点O作线段AC的垂线OE,垂足为E(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);

(3)若CD=4,AC=4√5,求垂线段OE的长.

考点分析:

切线的性质;勾股定理;作图—复杂作图;相似三角形的判定与性质;综合题。

题干分析:

(1)连接OC,由CD为圆O的切线,根据切线性质得到OC与CD垂直,又AD与CD垂直,根据平面上垂直于同一条直线的两直线平行得到AD与OC平行,由平行得一对内错角相等,又因为两半径OA与OC相等,根据等边对等角,得到一对相等的角,利用等量代换,即可得到∠DAC=∠OAC,即AC为∠DAB的平分线;

(2)以O为圆心,以大于O到AC的距离为半径画弧,与AC交于两点,分别以这两点为圆心,以大于这两点之间距离的一半长为半径在AC的另一侧画弧,两弧交于一点,经过此点与点O确定一条直线,即为所求的直线,如图所示;

(3)在直角三角形ACD中,由CD和AC的长,利用勾股定理求出AD的长,再根据垂径定理,由OE与AC 垂直,得到E为AC中点,求出AE的长,由(1)推出的角平分线得一对角相等,再由一对直角相等,根据两对对应角相等的两三角形相似,由相似得比例即可求出OE的长.

解题反思:

此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质及勾股定理.遇到圆的切线时,往往连接切点与圆心,运用切线性质将相切转化为垂直,来解决数学问题,同时要求学生作下一问时,要善于利用前面得出的结论.此题的第二问是尺规作图题,锻炼了学生的动手操作能力.

将尺规作图与几何图形有机结合起来是中考最常见的题型,考查了直角三角形和圆的基本性质、相似三角形的性质,其中角平分线的作图是关键步骤,知识点兼容性好,难度中等。

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